Биномиальное опционное ценообразование
Цена (премия) опционов пут и колл может быть оценена в условиях нейтрального отношения к риску. Нейтральное отношение к риску требует, чтобы портфель спота, (то есть акций, облигаций, валют и т.д.) и опционов пут имел идентичное вознаграждение в рискованных двумерных состояниях в будущем (состояния 1 и 2). Например, предположим, что обменный спот-курс евро равен $0,93/€, и обменный курс, как ожидается, будет равен или $1,01/€, или $0,89/€ в течение одного периода в будущем, как показано на Рис. 177.
Опцион пут обладает отрицательной внутренней стоимостью в состоянии 1 и, следовательно, имеет нулевую временную стоимость. В состоянии 2 он имеет положительную внутреннюю стоимость и стоит, по крайней мере, $0,045/€. Объединение дельта(Δ)-количества спота с одним опционом пут дает портфель, который является нейтральным к риску в хорошем (процветание) или плохом (спад) состоянии. Портфель, следовательно, создается в уравнении 12 с таким вознаграждением:
Δ х (1,01) + 0 = Δ х (0,89) – 0,045
Δ = – 0,375
Опцион пут с ценой исполнения, равной $0,935/€, как ожидается, будет иметь следующие вознаграждения в двух вышеупомянутых состояниях:
где Р – цена опциона пут.
Левая сторона уравнения – портфель, состоящий из Δ – количества спота и одного длинного опциона пут с премией, равной нулю (опцион пут имеет нулевую срочную стоимость в состоянии 1). Правая сторона уравнения – это Δ – количество спота и один длинный опцион пут со стоимостью в 0,045 доллара (длинный пут платит 0,045 доллара за покупку одного пута в качестве резерва). Δ опциона пут находится между нулем и -1. Безрисковый портфель, таким образом, состоит из:
• длинного спота: Δ количество спота;
• длинного опциона: 1 опцион пут.
Допуская, что обменный курс евро увеличивается до $1,01/€, стоимость портфеля составляет -0,3788 доллара в состоянии 1. Аналогично, стоимость портфеля в состоянии 2, где обменный курс опускается до $0,89/€, также точно равна -0,3788 доллара, то есть -0,375 (0,89) – 0,045 = -0,3788. Портфель, таким образом, является нейтральным к риску, и доход от этого портфеля при отсутствии арбитража должен быть не более безрисковой процентной ставки. Предположим, что безрисковые процентные ставки равны 8 и 4 процентам соответственно для США и Великобритании (разница процентных ставок в 4 процента). Мы хотим создать еще один нейтральный к риску портфель в текущем состоянии в нулевой момент времени, комбинируя Δ-количество спота и один опцион пут с ценой Р, которую необходимо определить, при этом до истечения остается 90 дней. Вознаграждение от этого портфеля (после корректировки на срочную стоимость денег) идентично вознаграждению других двух нейтральных к риску портфелей в состояниях 1 и 2:
Вычисляем цену опциона пут Р:
Р=$0,0245/€
Эта цена – грубое приближение для рассмотрения аналитиком, поскольку внутренняя стоимость опциона находится там, где временная стоимость опциона принимается равной нулю. Портфель, состоящий из длинной позиции по споту и длинной позиции по опциону пут, как ожидается, принесет вознаграждение, аналогичное вознаграждению защитного опциона пут, который обсуждался ранее. Доходность от такого портфеля должна быть равна безрисковой ставке для не приносящих дивиденды инструментов и равна разнице процентных ставок для приносящих дивиденды инструментов, например, для иностранной валюты, или просто равняться безрисковому проценту и дивидендному доходу по любым приносящим дивиденд акциям.
Опцион колл с такой же ценой исполнения, равной $0,935/€, и наличными ценами, идентичными состояниям 1 и 2 на Рис. 177, как ожидается, будет иметь доходы, показанные на Рис. 178.
Опцион колл имеет стоимость в 0,075 доллара в состоянии 1, поскольку наличная цена спот превышает цену исполнения на 0,075 доллара; опцион колл имеет нулевую стоимость в состоянии 2, и он является неприбыльным («без денег»). Объединение Δ-количества спота и одного короткого опциона колл, как ожидается, создаст нейтральный к риску портфель с безрисковым вознаграждением:
• Длинный спот: Δ количество спота.
• Короткий опцион: 1 опцион колл. Δ х (1,01) – 0,075 = Δ х (0,89)
Что дает Δ = 0,625
Вознаграждения в обоих нейтральных к риску портфелях в состояниях 1 и 2 тождественны 0,5563, что равно 0,625 (1,01) – 0,075 в состоянии 1 или 0,625 (0,89) в состоянии 2. Чтобы оценить опцион колл, обозначенный С, мы должны создать еще один нейтральный к риску портфель в текущем состоянии (текущий спот равен $0,93/€) в нулевой момент времени, будущая стоимость которого будет идентична вознаграждению других двух нейтральных к риску портфелей в состояниях 1 и 2, принимая ту же самую 4-процентную разницу безрисковых процентных ставок, а также истечение опциона колл через 90 дней:
Цена опциона колл в нулевой момент времени оказалась равной $0,03/€. Эта цена – грубое приближение опциона колл, поскольку внутренняя стоимость опциона в состоянии нейтрального отношения к риску игнорировалась. Чтобы гарантировать действительность результатов относительно оценки и опциона колл, и опциона пут, посмотрите на паритетное отношение опционов пут и колл в уравнении 13.
|
